タイトルで結果も記載していますが、なぜ EKS アドオンがコンソールから確認できないのに、EKS クラスターに VPC CNI プラグインなどの Pod が入っているのか気になったので調べてみました。
ドキュメントに記載しているとおりで、クラスターの作成方法によって、デフォルトでインストールされるアドオンが EKS アドオンか、セルフマネージドアドオンかが決まります。
If you create a cluster with the AWS Management Console, the Amazon EKS
kube-proxy
, Amazon VPC CNI plugin for Kubernetes, and CoreDNS Amazon EKS add-ons are automatically added to your cluster. If you useeksctl
to create your cluster with aconfig
file,eksctl
can also create the cluster with Amazon EKS add-ons. If you create your cluster usingeksctl
without aconfig
file or with any other tool, the self-managedkube-proxy
, Amazon VPC CNI plugin for Kubernetes, and CoreDNS add-ons are installed, rather than the Amazon EKS add-ons. You can either manage them yourself or add the Amazon EKS add-ons manually after cluster creation.(機械翻訳)
AWS Management Consoleでクラスタを作成すると、Amazon EKS kube-proxy、Amazon VPC CNI plugin for Kubernetes、CoreDNS Amazon EKS add-onsが自動的にクラスタに追加されます。eksctlを使用して設定ファイルを使用してクラスタを作成する場合、eksctlはAmazon EKSアドオンを使用してクラスタを作成することもできます。eksctlを使用して設定ファイルを使用せずに、または他のツールを使用してクラスタを作成する場合、Amazon EKSアドオンではなく、セルフマネージドkube-proxy、Amazon VPC CNI plugin for Kubernetes、およびCoreDNSアドオンがインストールされます。これらを自分で管理するか、クラスタ作成後に手動でAmazon EKSアドオンを追加することができます。
https://docs.aws.amazon.com/eks/latest/userguide/eks-add-ons.html
私の場合、eksctl を使用して設定ファイルを使用せず(EKS アドオンを作成せず)EKS クラスターを作成したので、デフォルトでセルフマネージドアドオンがインストールされていました。
EKS アドオンとセルフマネージドアドオンは異なるため、コンソールでは EKS アドオンでは表示されません(異なるといっても EKS で作成・管理できるかの違いだけだと思います)。

EKS アドオンかそうでないかは、コンソールに表示されているかや、以下のコマンドでも確認できます(VPC CNI の例)。
aws eks describe-addon --cluster-name my-cluster --addon-name vpc-cni --query addon.addonVersion --output text
EKS アドオンであれば、値が返却されます。
なお、アドオンがインストールされていることは、EKS のコンソールの「リソース」から Pod などを確認したり、kubectl コマンドからでも確認できます。