ドメインはドメインレジストラ(ドメインを登録する事業者)から購入できるため、Route53 以外の多くのドメインレジストラから購入できます。
例えば、有名なドメインレジストラとしてお名前.com がありますね。
私は Lightsail で WordPress を使用するので、同じ AWS サービスである Route53 を選択しました。
Route53 でドメインを取得する
AWS にサインインし、Route53 のコンソールに移動、登録済みドメインから「ドメインの登録」をクリックします(ダッシュボードからでも登録できます)。

取得したいドメインを入力します(①)。チェックをクリックすれば、そのドメインが使用できるか表示されます(②)。
ステータスが「使用可能」であれば利用できます。欲しいドメインの「カートに入れる」をクリックします(③)。最後に、続行をクリックします(④)。

ドメイン登録者(自分)の連絡先を入力します。この情報は whois で公開される情報ですが、プライバシーの保護を有効化しておけば AWS の情報しか表示されません。
ただし、一部のドメインはプライバシー保護有効化のためにサポートケースを開く必要があったり、プライバシーの保護範囲が異なったりするため(例:.com のプライバシー保護範囲)、自分が取得するドメインがどこまで保護されるか確認しておきましょう。

.com の場合、2022年4月10日現在は以下のとおり全て AWS の情報で隠してくれます。

最後に、規約同意にチェックをして「注文を完了」をクリックすれば完了です。あとは連絡先に指定したメールアドレスにメールが送信されるので、メール内の URL をクリックするだけです。

なお、ドメインを登録するとホストゾーンが自動で作成されます。